Το κριτήριο Kelly: ο τύπος που απαντά «μην ποντάρετε»
Το κριτήριο Kelly είναι ο μόνος τύπος αυτής της ενότητας που απαντά με αριθμό στην ερώτηση «πόσα να ποντάρω», και γι' αυτό το βρίσκουμε συχνά παρουσιασμένο ως σύστημα πονταρίσματος για το καζίνο. Εφαρμοσμένο τίμια σε ένα πόνταρισμα της ρουλέτας, δίνει αρνητικό αριθμό, δηλαδή «μην ποντάρετε»· και ο αριθμός αυτός είναι ακριβώς το πλεονέκτημα του καζίνο με αρνητικό πρόσημο.
Ο τύπος
Τον τύπο τον δημοσίευσε ο John Larry Kelly Jr. τον Ιούλιο του 1956 στο Bell System Technical Journal, σε μια εργασία με τίτλο «A New Interpretation of Information Rate» (ο τίτλος μιλά για «ρυθμό πληροφορίας» και όχι για τζόγο). Όπως τον διαβάζουμε, υπολογίζει το «κλάσμα» του κεφαλαίου που πρέπει να ποντάρει κανείς σε ένα επαναλαμβανόμενο πόνταρισμα ώστε το κεφάλαιο να μεγαλώνει μακροπρόθεσμα όσο πιο γρήγορα γίνεται, και στην απλή του μορφή γράφεται έτσι.
f* = (b⋅p − q) / b, όπου f* είναι το κλάσμα του κεφαλαίου που ποντάρεται, b η καθαρή πληρωμή (1 για το 1 προς 1, 35 για το πλήρες νούμερο), p η πιθανότητα να κερδίσει το πόνταρισμα και q = 1 − p η πιθανότητα να χάσει.
Με «μακροπρόθεσμα» ο τύπος εννοεί τον μέσο ρυθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζεται το κεφάλαιο από πόνταρισμα σε πόνταρισμα (τον μέσο λογάριθμο, σε μαθηματική γλώσσα) και όχι το μέσο κέρδος του επόμενου πονταρίσματος, και γι' αυτό δεν συστήνει ποτέ να ποντάρει κανείς όλο το κεφάλαιο, ακόμη και όταν το πλεονέκτημα είναι θετικό: μία ήττα θα το μηδένιζε.
Ας σταθούμε στο «πρόσημο»: ο παρονομαστής δεν το αλλάζει, οπότε το πρόσημο το αποφασίζει ο αριθμητής, b⋅p − q (το αναμενόμενο αποτέλεσμα ενός ευρώ που ποντάρεται μία φορά). Αν το πόνταρισμα κερδίζει κατά μέσο όρο, ο τύπος λέει πόσα να ποντάρετε, και αν χάνει κατά μέσο όρο, λέει ένα μόνο πράγμα, με αριθμό.
Στο τραπέζι της ρουλέτας
Ο λογαριασμός χωρά σε μία γραμμή. Ας τον εφαρμόσουμε στο κόκκινο, σε ευρωπαϊκό τροχό: b = 1, p = 18/37 και q = 19/37, οπότε f* = 18/37 − 19/37 = −1/37, δηλαδή −2,70%. Ο τύπος δεν λέει «ποντάρετε λίγο», λέει ότι το κλάσμα που μεγιστοποιεί την ανάπτυξη του κεφαλαίου είναι μικρότερο από το μηδέν, και το σωστό πόνταρισμα είναι μηδέν (στη ρουλέτα δεν μπορεί κανείς να πάρει τη θέση της «μπάνκας»).
| Πόνταρισμα | b | p | f* |
|---|---|---|---|
| Κόκκινο, μονά ή μεγάλα, ευρωπαϊκός τροχός | 1 | 18/37 | −2,70% |
| Δωδεκάδα ή στήλη | 2 | 12/37 | −1,35% |
| Εξάδα | 5 | 6/37 | −0,54% |
| Πλήρες νούμερο | 35 | 1/37 | −0,08% |
| Κόκκινο, τροχός με διπλό μηδέν | 1 | 18/38 | −5,26% |
Οι αριθμοί του πίνακά μας διαφέρουν από γραμμή σε γραμμή, γιατί ο τύπος διαιρεί το αναμενόμενο αποτέλεσμα με την πληρωμή· το πρόσημο όμως είναι το ίδιο σε όλες. Ο αριθμητής είναι −1/37 σε κάθε πόνταρισμα του ευρωπαϊκού τροχού, δηλαδή το πλεονέκτημα του καζίνο με αρνητικό πρόσημο, και στον τροχό με διπλό μηδέν γίνεται −2/38 (ή −3/38 για τους πέντε αριθμούς 0, 00, 1, 2 και 3).
Ο αριθμός δεν είναι τυχαίος
Για τα πονταρίσματα 1 προς 1 το κριτήριο Kelly επιστρέφει ακριβώς τον αριθμό που έχουμε γράψει στη σελίδα για το πλεονέκτημα του καζίνο (−2,70%), με έναν τρόπο που τον ελέγξαμε σε δύο γραμμές. Είναι, κατά τη γνώμη μας, το ισχυρότερο επιχείρημα όλης της ενότητας, γιατί δεν προέρχεται από κάποιον που θέλει να σας αποτρέψει από το παιχνίδι αλλά από τον τύπο που επικαλούνται όσοι σας προτείνουν ένα σύστημα.
Λείπει από πολλές παρουσιάσεις για έναν απλό λόγο: το Kelly παρουσιάζεται ως «στρατηγική πονταρίσματος», με παραδείγματα με θετικό αποτέλεσμα, και σπάνια ως ο τύπος που λέει πότε δεν ποντάρει κανείς. Το διορθώνουμε εδώ με τους αριθμούς του τραπεζιού, που δεν αφήνουν περιθώριο για ερμηνείες, και με τον ίδιο ακριβώς τύπο των παρουσιάσεων εκείνων.
Το λάθος των παραδειγμάτων που κυκλοφορούν
Τα παραδείγματα που κυκλοφορούν χρησιμοποιούν συνήθως ένα στοίχημα όπου ο παίκτης «υποθέτει» ότι έχει πλεονέκτημα (για παράδειγμα πιθανότητα 0,55 σε απόδοση 1 προς 1), οπότε f* = 0,55 − 0,45 = 10%. Με αυτό το κλάσμα και με πραγματική πιθανότητα 0,55, όπως το υπολογίσαμε, το κεφάλαιο μεγαλώνει μακροπρόθεσμα κατά περίπου 0,50% ανά πόνταρισμα, και σε 100 πονταρίσματα με 55 νίκες γίνεται 1,65 φορές το αρχικό.
Αν όμως η πραγματική πιθανότητα είναι 0,50 και η εκτίμηση του 0,55 ήταν αισιόδοξη, το ίδιο 10% συρρικνώνει το κεφάλαιο κατά περίπου 0,50% ανά πόνταρισμα· με 50 νίκες σε 100 πονταρίσματα, δηλαδή με ακριβώς μισές νίκες, μένει το 60,5% του κεφαλαίου (0,99 υψωμένο στην πεντηκοστή). Το παράδειγμα είναι υποθετικό, αλλά δείχνει ότι ο τύπος είναι τόσο καλός όσο η εκτίμηση της πιθανότητας, και στο στοίχημα η πιθανότητα είναι πάντα εκτίμηση.
Ακόμη και με πραγματικό πλεονέκτημα ο τύπος τιμωρεί την «υπερβολή». Στους υπολογισμούς μας, με πιθανότητα 0,55 και διπλάσιο κλάσμα (20% αντί για 10%), ο μακροπρόθεσμος «ρυθμός ανάπτυξης» γίνεται ελαφρά αρνητικός, −0,014% ανά πόνταρισμα, ενώ με το μισό κλάσμα (5%) μένει θετικός, +0,375%, με πολύ μικρότερες διακυμάνσεις.
Η μόνη περίπτωση που δίνει θετικό αριθμό
Ο τύπος δίνει θετικό αριθμό μόνο όταν b⋅p > q, δηλαδή με θετικό αναμενόμενο αποτέλεσμα του πονταρίσματος, και αλλιώς δίνει μηδέν ή αρνητικό αριθμό. Στη ρουλέτα αυτό δεν συμβαίνει σε κανένα πόνταρισμα, γιατί οι πληρωμές ορίζονται έτσι ώστε το καζίνο να κρατά πάντα ένα μέρος, και κανένα σύστημα δεν μπορεί να το αλλάξει, όπως δείξαμε στη σελίδα της ενότητας.
Ο τύπος, όπως τον καταλαβαίνουμε, έχει νόημα έξω από το τραπέζι, όπου κάποιος μπορεί να έχει πράγματι θετικό αναμενόμενο αποτέλεσμα και να το γνωρίζει με ακρίβεια, και ακόμη κι εκεί, όπως είδαμε, η «υπερεκτίμηση» κοστίζει. Στο καζίνο, το κριτήριο Kelly είναι απλώς η πιο ευγενική μορφή του «όχι».
Τι κρατάμε
Αν κρατήσετε ένα πράγμα από αυτή τη σελίδα, ας είναι αυτό: ο μόνος τύπος που υπολογίζει πόσα να ποντάρετε, εφαρμοσμένος τίμια στη ρουλέτα, απαντά μηδέν. Για όποιον παίζει έτσι κι αλλιώς (ως «ψυχαγωγία», με ένα ποσό που έχει αποφασίσει να ξοδέψει), η σελίδα για το σταθερό πόνταρισμα δείχνει πώς χάνει κανείς λιγότερα, δηλαδή ποντάροντας λιγότερα συνολικά.
Συχνές ερωτήσεις
Τι είναι το κριτήριο Kelly;
Είναι ένας τύπος που υπολογίζει ποιο κλάσμα του κεφαλαίου πρέπει να ποντάρει κανείς ώστε το κεφάλαιο να μεγαλώνει μακροπρόθεσμα όσο πιο γρήγορα γίνεται: f* = (b⋅p − q) / b. Τον δημοσίευσε ο J. L. Kelly, Jr. το 1956.
Τι δίνει το κριτήριο Kelly στη ρουλέτα;
Αρνητικό αριθμό για κάθε πόνταρισμα: −2,70% για τα πονταρίσματα 1 προς 1 σε ευρωπαϊκό τροχό και −5,26% σε τροχό με διπλό μηδέν. Αρνητικό κλάσμα σημαίνει ότι το σωστό πόνταρισμα είναι μηδέν.
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο Kelly στο στοίχημα;
Ο τύπος χρειάζεται την πραγματική πιθανότητα του αποτελέσματος, που στο στοίχημα είναι μόνο εκτίμηση. Αν η εκτίμηση είναι αισιόδοξη, ο τύπος οδηγεί σε μεγαλύτερα πονταρίσματα από όσα δικαιολογεί η πραγματικότητα, και το κεφάλαιο συρρικνώνεται.
Γιατί το κριτήριο Kelly δεν είναι σύστημα για τη ρουλέτα;
Επειδή δίνει θετικό κλάσμα μόνο όταν το πόνταρισμα έχει θετικό αναμενόμενο αποτέλεσμα, κάτι που δεν συμβαίνει σε κανένα πόνταρισμα της ρουλέτας.
Πηγές: J. L. Kelly, Jr., «A New Interpretation of Information Rate», Bell System Technical Journal, τόμ. 35, τεύχ. 4, Ιούλιος 1956, σ. 917-926· υπολογισμοί του τύπου σε ευρωπαϊκό τροχό (37 θέσεις) και σε τροχό με διπλό μηδέν (38 θέσεις). Τα παραδείγματα με πιθανότητα 0,55 είναι υποθετικά.